14b.E15 : Refroidissement du contenu d’une tasse
Une tasse contenant \(V = \pu{25 mL}\) d’eau chaude à \(\pu{80 °C}\) est laissée sur une table. La température de la pièce est de \(T_{ext} = \pu{20 °C}\).
Données
• Capacité thermique massique de l’eau : \(c_m = \pu{4,18 J*g–1*K–1}\).
• Masse volumique de l'eau : \(\rho = \pu{1,0 g*mL–1}\).
Rappel de la loi de Newton
Pendant l'intervalle de temps \(dt\) (supposé très petit), le système échange une énergie élémentaire \(dQ = h·S·(T_{ext} – T)·dt\) où \(S\) est la surface externe du système et \(h = \pu{10 W*m–2*K–1}\) est une caractéristique de l'air avec lequel le système est en contact.
Questions
1 Déterminer la capacité thermique \(C_{eau}\) de l’eau dans la tasse.
2 Quel est le signe de \(Q\) au cours du refroidissement de l’eau ? Justifier.
3 Vers quelle valeur va tendre la température de l’eau ? Expliquer le processus de refroidissement en présentant les types de transferts que va connaître l’eau.
4 Montrer en appliquant le premier principe de la thermodynamique au café que sa température \(T(t)\) obéit à l'équation différentielle suivante : \(\dfrac{dT}{dt}=k·(T_{ext}-T)\).
Exprimer la constante \(k\) en fonction de \(h\), \(S\) et \(C_{eau}\).
5 On souhaite vérifier que \(T(t) = a·exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)+b\) est solution de l'équation différentielle.
5.a Quelle doit être la valeur de \(b\) pour que \(T \rightarrow T_{ext}\) quand \(t \rightarrow \infty\) ?
5.b Quelle doit être la valeur de \(a\) pour que \(T(t=0) = T_0\) ?
5.c Montrer que l'équation obtenue est solution de l'équation différentielle et déterminer l'expression de \(\tau\).
6 A l’aide d’un tableur, tracer la courbe donnant l'évolution de la température au cours du temps pour \(S = \pu{20 cm^2}\).
7 Pour espérer boire le liquide plus chaud au bout d'un même temps vaut-il mieux le garder dans une tasse de plus grande ou plus petite largeur ? Justifier.