14b.E15 : Refroidissement du contenu d’une tasse

Une tasse contenant \(V = \pu{25 mL}\) d’eau chaude à \(\pu{80 °C}\) est laissée sur une table. La température de la pièce est de \(T_{ext} = \pu{20 °C}\).

Données

• Capacité thermique massique de l’eau : \(c_m = \pu{4,18 J*g–1*K–1}\).

• Masse volumique de l'eau : \(\rho = \pu{1,0 g*mL–1}\).

Rappel de la loi de Newton

Pendant l'intervalle de temps \(dt\) (supposé très petit), le système échange une énergie élémentaire \(dQ = h·S·(T_{ext} – T)·dt\) où \(S\) est la surface externe du système et \(h = \pu{10 W*m–2*K–1}\) est une caractéristique de l'air avec lequel le système est en contact.

Questions

1 Déterminer la capacité thermique \(C_{eau}\) de l’eau dans la tasse.

2 Quel est le signe de \(Q\) au cours du refroidissement de l’eau ? Justifier.

3 Vers quelle valeur va tendre la température de l’eau ? Expliquer le processus de refroidissement en présentant les types de transferts que va connaître l’eau.

4 Montrer en appliquant le premier principe de la thermodynamique au café que sa température \(T(t)\) obéit à l'équation différentielle suivante : \(\dfrac{dT}{dt}=k·(T_{ext}-T)\).

Exprimer la constante \(k\) en fonction de \(h\), \(S\) et \(C_{eau}\).

5 On souhaite vérifier que \(T(t) = a·exp\left(-\frac{t}{\tau}\right)+b\) est solution de l'équation différentielle.

5.a Quelle doit être la valeur de \(b\) pour que \(T \rightarrow T_{ext}\) quand \(t \rightarrow \infty\) ?

5.b Quelle doit être la valeur de \(a\) pour que \(T(t=0) = T_0\) ?

5.c Montrer que l'équation obtenue est solution de l'équation différentielle et déterminer l'expression de \(\tau\).

6 A l’aide d’un tableur, tracer la courbe donnant l'évolution de la température au cours du temps pour \(S = \pu{20 cm^2}\).

7 Pour espérer boire le liquide plus chaud au bout d'un même temps vaut-il mieux le garder dans une tasse de plus grande ou plus petite largeur ? Justifier.

Afficher la correction

1

\(\begin{align} C_{eau} &= m_{eau}×c_m \\ &= \rho × V × c_m \\ &= (\pu{1,0 g*mL-1)×(\pu{25 mL})×(\pu{4,18 J*g-1*K-1})} \\ &= \pu{104,5 J*K-1} \end{align}\)

2

L'eau perd de l'énergie, donc \(Q\) est négatif.

3

La température de l'eau va tendre vers la température de l'air.

Les échanges se feront principalement par conduction dans l'eau et dans l'air.

4

Le premier principe permet d'écrire que \(\Delta U = Q\)

Or, on sait que \(\Delta U = C_{eau}·\Delta T\)

Finalement, on a \(Q = C_{eau}·\Delta T\)

On raisonne maintenant sur un petit intervalle de temps \(dt\) et donc une petite variation de température \(dT\) et un petit transfert thermique \(dQ\).

On peut écrire que \(dQ = C_{eau}·dT\), soit \(\dfrac{dQ}{dt} = C_{eau}·\dfrac{dT}{dt}\) (relation 1).

D'après la loi phénoménologique de Newton, on a \(\dfrac{dQ}{dt} = h·S·(T_{ext} – T)\) (relation 2).

Donc, en combinant les relations 1 et 2, on obtient : \(C_{eau}·\dfrac{dT}{dt} = h·S·(T_{ext} – T)\).

Soit \(\dfrac{dT}{dt} = \dfrac{h × S}{C_{eau}} · (T_{ext} – T)\)

5.a

On sait que \(exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \rightarrow 0\) quand \(t \rightarrow \infty\), alors \(b = T_{ext}\).

5.b

On sait que \(exp\left(-\frac{0}{\tau}\right) = 1\).

Donc, à \(t = 0\) on a \(T_0 = a + T_{ext}\).

D'où \(a = T_0 - T_{ext}\)

5.c

\(T(t) = (T_0 - T_{ext})·exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) + T_{ext}\)

\(\dfrac{dT}{dt} = \left(-\frac{1}{\tau}\right)·(T_0 - T_{ext})·exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) \)

On "injecte" ces deux relations dans l'équation différentielle.

L'équation différentielle est : \(\dfrac{dT}{dt} = \dfrac{h·S}{C_{eau}}·(T_{ext} – T)\)

D'où : \(\left(-\frac{1}{\tau}\right)·(T_0 - T_{ext})·exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) = \dfrac{h × S}{C_{eau}}·(T_{ext} – ((T_0 - T_{ext})·exp\left(-\frac{t}{\tau}\right) + T_{ext}))\)

Après simplifications, il reste : \(\dfrac{1}{\tau} = \dfrac{h·S}{C_{eau}}\)

Soit \(\tau = \dfrac{C_{eau}}{h·S}\)

6

\(T_0 = \pu{80 °C}\)

\(T_{ext} = \pu{20 °C}\)

\(S = \pu{20 cm^2} = \pu{20E-4 m2}\)

D'où \(\begin{aligned}[t] \tau &= \dfrac{C_{eau}}{h·S} \\ &= \dfrac{\pu{104,5 J*K-1}}{(\pu{10 W*m-2*K-1})·(\pu{20E-4 m2})} \\ &= \pu{5,23E3 s} \end{aligned}\)

7

Pour espérer boire un liquide plus chaud au bout d'un même temps, il faut que \(\tau\) soit plus grand.

Donc, d'après l'expression de \(\tau\) obtenue au 5.c, il faut que \(S\) soit plus petit.