14b.E14 : Refroidissement d’un liquide

On laisse refroidir un liquide tout en mesurant sa température au cours du temps. Les données sont reportées ci-dessous.

On admet que l’évolution de la température vérifie l’équation différentielle suivante : \(\dfrac{dT}{dt} = -k·(T-T_a)\).

La solution de cette équation différentielle est de la forme : \(T(t) = A·exp(-k·t)+B\).

1 Tracer la courbe donnant la température en fonction du temps.

2 A partir du graphique, déterminer la température initiale \(T_0\) du liquide et la température ambiante \(T_a\).

3 Déterminer les expressions de \(A\) et \(B\) en fonction de \(T_0\), \(T_a\) et \(k\).

4 Donner l’unité de \(k\).

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1)

2)

Sur la graphique, on peut lire que \(T_0 = \pu{80 °C}\).

La température ambiante est égale à la température du liquide lorsque cette dernière s'est stabilisée. Sur le graphique, on peut lire que \(T_a = \pu{20 °C}\).

3)

On rappelle que :

\(exp(0) = 1\)

\(exp(-x) \rightarrow 0\) quand \(x \rightarrow \infty\)

 

Pour \(t \rightarrow \infty\)

D'une part \(T(t \rightarrow \infty) = T_a\)

D'autre part \(T(t \rightarrow \infty) = A·exp(-k·t)+B = B\)

D'où \(B = T_a\)

Pour \(t = 0\)

D'une part \(T(0) = T_0\)

D'autre part \(T(0) = A·exp(-k·0)+B\), soit \(T(0) = A + B\)

D'où \(A = T_0 - T_a\)

4)

La grandeur \(-k·t\) doit être sans unité. Donc, avec \(t\) en \(\pu{min}\), \(k\) est en \(\pu{min-1}\).