12.E4 : Alarme

Lorsque l’utilisateur d’une alarme d’appartement rentre chez lui, après l’ouverture de la porte d’entrée, il doit disposer d’une durée suffisante pour désactiver le dispositif. Sinon, cette durée écoulée, l’alarme se déclenche.

Lorsque l’alarme est sous tension et que l’utilisateur entre, l’interrupteur K du dispositif s’ouvre, et le condensateur se charge.

Le montage comparateur mesure la tension aux bornes du condensateur et la compare à une tension de référence \(u_{ref} = \pu{5,0 V}\). Aucun courant ne circule dans la branche de ce montage comparateur. L’alarme sonore se déclenche si \(u_C > u_{ref}\).

1 Déterminer l’équation différentielle vérifiée par la tension \(u_C\) aux bornes du condensateur.

2 Montrer que la tension \(u_C\) aux bornes du condensateur vérifie : \(u_C = E·(1-exp(-t/\tau))\).

3 De combien de temps dispose l’utilisateur pour désactiver l’alarme ?