12.E3 : Balance

Documents

Document n° 1 : Principe d’une balance capacitive

Il est possible de constituer une balance à partir d’un condensateur. Ce dernier comporte alors une armature mobile et une armature fixe. Un plateau est relié à l’armature mobile et les deux armatures sont reliées par plusieurs ressorts équivalents à un ressort de raideur \(k\). Lorsque le plateau est vide, la distance entre les armatures est \(e_0\) et le condensateur a une capacité \(C_0\).

Document n° 2 : Propriété des condensateurs plans

Pour tout condensateur plan, \(C = \dfrac{ε·S}{e}\), où \(S\) est la surface des armatures, \(e\) la distance entre les armatures et \(ε\) une grandeur qui dépend uniquement du matériau isolant utilisé entre les armatures.

Document n° 3 : Application des lois de la mécanique

En appliquant les lois de la mécanique, on peut montrer que, lorsqu’une masse m est à l’équilibre sur le plateau : \(m = k·\dfrac{e_0-e}{g}\).

Questions

Pour la balance étudiée : \(k = \pu{7,2 N·m–1}\) ; \(C_0 = \pu{39,0 nF}\) ; \(ε·S = \pu{3,1E–9 F·m}\).

Par ailleurs, on prendra \(g = \pu{9,81 N·kg-1}\)

1 Calculer la distance \(e_0\) entre les deux armatures lorsque le plateau est vide.

2 Préciser comme la valeur de la capacité du condensateur évolue lorsqu’on place la masse sur le plateau.

3 Une masse \(m\) est posée sur le plateau de la balance. La valeur de la capacité du condensateur est alors \(C = \pu{73,0 nF}\). Calculer la valeur de la masse \(m\).

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1)

\(C_0 = \dfrac{ε·S}{e_0}\)

\(\begin{align} e_0 &= \dfrac{ε·S}{C_0} \\ &= \dfrac{\pu{3,1E-9 F·m}}{\pu{39,0E-9 F}} \\ &= \pu{7,9E-2 m} \end{align}\)

2)

Lorsqu'on place un masse sur le plateau de la balance, la distance \(e\) diminue. Or \(C = \dfrac{ε·S}{e}\). Donc la capacité \(C\) du condensateur augmente.

3)

\(\begin{align} m &= \dfrac{k}{g}·(e_0 - e) \\ &= \dfrac{k}{g}·\left( \dfrac{ε·S}{C_0} - \dfrac{ε·S}{C} \right) \\ &= \dfrac{k·ε·S}{g}·\left( \dfrac{1}{C_0} - \dfrac{1}{C} \right) \\ &= \dfrac{(\pu{7,2 N·m-1}) × (\pu{3,1E-9 F·m})}{\pu{9,81 N·kg-1}}·\left( \dfrac{1}{\pu{39E-9 F}} - \dfrac{1}{\pu{73,0E-9 F}} \right) \\ &= \pu{2,7E-2 kg} \\ &= \pu{27 g} \end{align}\)