10.E8 : État final d’une solution d’acide faible

Une solution de volume \(V = \pu{100 mL}\) est obtenue par dissolution totale dans l’eau d’un échantillon d’acide benzoïque de quantité de matière \(n_0 = \pu{1,0 mmol}\). L’acide benzoïque est un acide faible que l’on notera \(AH\). Le couple acide benzoïque / ion benzoate a un \(pK_A = \pu{4,2}\).

1 Écrire l’équation de la réaction de l’acide benzoïque avec l’eau.

2 Donner l’expression de la constante d’acidité \(K_A\) de l’acide benzoïque.

3 Construire le tableau d’avancement associé à la réaction de l’acide avec l’eau en notant \(x_f\) l’avancement final.

4 En déduire les expressions des concentrations des différentes espèces dans l’état final en fonction de \(x_f\) et \(V\).

5 En déduire l’équation du second degré dont \(x_f\) est la solution.

6 Résoudre numériquement cette équation pour trouver la valeur de \(x_f\).

7 Exprimer puis calculer \(x_m\).

8 En déduire que le taux d'avancement dans l'état final vaut \(\pu{7,6 \%}\).

Afficher la correction

\(\ce{AH + H2O <--> A- + H3O+}\)

\(K_A = \dfrac{[\ce{A-}]×[\ce{H3O+}]}{[\ce{AH}]}\)

	Av.	\(\ce{AH}\)	\(\ce{+}\)	\(\ce{H2O}\)	\(\ce{<-->}\)	\(\ce{A-}\)	\(\ce{H3O+}\)
État initial	\(x = 0\)	\(n_0(\ce{AH})\)		Solvant (excès)		\(0\)	\(0\)
État final	\(x = x_f\)	\(n_f(\ce{AH}) = n_0(\ce{AH}) - x_f\)		Solvant (excès)		\(n_f(\ce{A-}) = x_f\)	\(n_f(\ce{H3O+}) = x_f\)

\([\ce{A-}]_f = \dfrac{n_f(\ce{A-})}{V} = \dfrac{x_f}{V}\)

\([\ce{H3O+}]_f = \dfrac{n_f(\ce{H3O+})}{V} = \dfrac{x_f}{V}\)

\([\ce{AH}]_f = \dfrac{n_f(\ce{AH})}{V} = \dfrac{n_0(\ce{AH}) - x_f}{V}\)

\(K_A = \dfrac{[\ce{A-}]×[\ce{H3O+}]}{[\ce{AH}]} \).

Soit \(K_A = \dfrac{\dfrac{x_f}{V} × \dfrac{x_f}{V}}{\dfrac{n_0(\ce{AH}) - x_f}{V}} \).

Soit \(K_A×V×n_0(\ce{AH}) - K_A×V×x_f = {x_f}^2\).

Soit \({x_f}^2 + K_A×V×x_f - K_A×V×n_0(\ce{AH}) = 0\)

Avec les valeurs, l'équation devient : \({x_f}^2 + (\pu{6,31E-6})×x_f - (\pu{6,31E-9}) = 0\)

\(\Delta = (\pu{6,31E-6})^2 - 4 × (\pu{-6,31E-9}) = \pu{2,53E-8}\).

\(x_f = \dfrac{-(\pu{6,31E-6}) + \sqrt{\pu{2,53E-8}}}{2} = \pu{7,63E-5 mol}\).

D'après le tableau d'avancement : \(x_m = n_0(\ce{AH}) = \pu{1,0E-3 mol}\)

\(\tau_f = \dfrac{x_f}{x_m} = \dfrac{\pu{7,63E-5 mol}}{\pu{1,0E-3 mol}} = \pu{7,63E-2} = \pu{7,63 \%}\)