8.E14 : Fentes d’Young

Une expérience d’interférences en lumière monochromatique de longueur d’onde dans le vide \(\lambda_0 = \pu{650 nm}\) est réalisée avec deux sources \(S_1\) et \(S_2\) émettant en phase. Les deux sources sont séparées d’une distance \(a = \pu{0,20 mm}\). Un écran est placé à une distance \(D = \pu{2,0 m}\) des sources.

La position sur l’écran est donnée par le repère Ox.

Données :

- L’indice de réfraction (ou indice optique) de l’air : \(n_{air} = \pu{1,00}\).
- La différence de chemin optique au point \(M\) d’abscisse \(x\) est donnée par la relation \(𝛿 = \dfrac{𝑛·𝑎·𝑥}{D}\)

1 Représenter l’allure de ce que l’on peut voir sur l’écran en expliquant.

2 Déterminer si le point d’abscisse \(x = \pu{13 mm}\) est au centre d’une frange brillante ou d’une frange sombre.

Afficher la correction

La figure de diffraction que l'on obtient est la superposition de franges d'interférence équidistantes sur une figure de diffraction due à la petite largeur des fentes.

Pour le phénomène de diffraction, la tache centrale est deux fois plus large que les taches secondaires.

Pour le phénomène d'interférence, toutes les franges sont équidistantes.

Méthode basée sur la différence de chemin optique

Principe général

On sait que :

- si la différence de chemin optique est un multiple de \(\lambda_0\), alors, au point M, les interférences sont constructives,
- si la différence de chemin optique est un multiple et demi de \(\lambda_0\), alors, au point M, les interférences sont destructives.

On va donc calculer le rapport \(\dfrac{\delta}{\lambda_0}\)

Pour cela, on va d'abord calculer \(𝛿\) à l'aide de la formule de l'énoncé.

Calcul de \(𝛿\)

On a \(𝛿 = \dfrac{𝑛·𝑎·𝑥}{D}\) et \(x = \pu{13 mm}\)

Donc :

\(\begin{align} 𝛿 &= \dfrac{𝑛·𝑎·𝑥}{D} \\ &=\dfrac{\ce{1,00} × (\pu{0,20E-3 m}) × (\pu{13E-3 m})}{\pu{2,0 m}} \\ &= \pu{1,3E-6 m} \end{align}\)

Calcul du rapport \(\dfrac{\delta}{\lambda_0}\)

\(\begin{align} \dfrac{\delta}{\lambda_0} &= \dfrac{\pu{1,3E-6 m}}{\pu{650E-9 m}} \\ &= \pu{2,0} \end{align}\)

Conclusion : Au point M d'abscisse \(x = \pu{13 mm}\), les interférences sont constructives.

Méthode basée sur l'interfrange

Principe général

Le point O étant équidistant des deux sources, les interférences y sont constructives.

Si le point M est placé :

- à une distance de O égale à une nombre entier d'interfranges, les interférences y sont constructives,
- à une distance de O égale à une nombre entier et demi d'interfranges, les interférences y sont destructives.

On va donc calculer l'interfrange \(i\), puis le rapport \(\dfrac{x}{i}\)

Calcul de l'interfrange \(i\)

\(\begin{align} i &= \dfrac{\lambda·D}{a} \\ &= \dfrac{(\pu{650E-9 m}) × (\pu{2,0 m})}{\pu{0,20E-3 m}} \\ &= \pu{6,5E-3 m} \end{align}\)

Remarque : ici, on a admis la relation donnant l'interfrange : \(i = \dfrac{\lambda·D}{a}\). Mais il pourrait être judicieux de la redémontrer.

Calcul du rapport \(\dfrac{x}{i}\)

\(\begin{align} \dfrac{x}{i} &= \dfrac{\pu{13E-3 m}}{\pu{6,5E-3 m}} \\ &= \pu{2,0} \end{align}\)

Conclusion : L'abcisse \(x\) du point \(M\) étant un multiple entier d'interfranges, les interférences au point M sont constructives.