10.E7 : pH d’une solution d’acide faible

La réaction de l’acide salicylique avec l’eau a pour équation : \(\ce{AH(aq) + H2O(l) ⇄ A–(aq) + H3O+(aq)}\). Pour le couple \(\ce{AH / A–}\), \(pK_A = \pu{3,0}\).

On prépare une solution d’acide salicylique de concentration en acide apporté \(c = \pu{0,10 mol*L–1}\).

On notera \([\ce{H3O+}]_f = h\). On prendra \(c_0 = \pu{1 mol*L–1}\) pour simplifier l’écriture des expressions littérales. On raisonnera sur un volume de solution \(V\).

1 Construire le tableau d’avancement de la réaction de l’acide avec l’eau.

2 Rappeler la formule de \(K_A\).

3 Exprimer \(h\) en fonction de \(x_f\) et \(V\).

4 En déduire une expression de \(K_A\) en fonction de \(c\) et \(h\).

5 Résoudre l’équation de 2ème degré pour trouver la valeur de \(h\).

6 En déduire que le \(pH\) dans l'état finale vaut \(\pu{2,0}\).

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	Av.	\(\ce{AH}\)	\(\ce{+}\)	\(\ce{H2O}\)	\(\ce{<-->}\)	\(\ce{A-}\)	\(\ce{H3O+}\)
État initial	\(x = 0\)	\(n_0(\ce{AH})\)		Solvant (excès)		\(0\)	\(0\)
État final	\(x = x_f\)	\(n_f(\ce{AH}) = n_0(\ce{AH}) - x_f\)		Solvant (excès)		\(n_f(\ce{A-}) = x_f\)	\(n_f(\ce{H3O+}) = x_f\)
État maximal	\(x = x_m\)	\(n_m(\ce{AH}) = n_0(\ce{AH}) - x_m\)		Solvant (excès)		\(n_m(\ce{A-}) = x_m\)	\(n_m(\ce{H3O+}) = x_m\)

\(K_A = \dfrac{[\ce{A-}]×[\ce{H3O+}]}{[\ce{AH}]}\)

\(\begin{align} h &= [\ce{H3O+}]_f \\ &= \dfrac{n_f(\ce{H3O+})}{V} \\ &= \dfrac{x_f}{V} \\ \end{align}\)

\(\begin{align} K_A &= \dfrac{[\ce{A-}]×[\ce{H3O+}]}{[\ce{AH}]} \\ &= \dfrac{\dfrac{x_f}{V}×\dfrac{x_f}{V}}{\dfrac{n_0(\ce{AH}) - x_f}{V}} \\ &= \dfrac{h^2}{c-h} \end{align}\)

L'équation peut s'écrire : \(h^2 + K_A×h - K_A×c = 0\).

Discriminant : \(\Delta = {K_A}^2 - 4×(-K_A×c) = {K_A}^2 + 4×K_A×c = \pu{4,01E-4}\).

Racine positive : \(h = \dfrac{-{K_A} + \sqrt{\Delta}}{2} = \pu{9,51E-3 mol}\).

\(\begin{align} pH &= -log([\ce{H3O+}]) \\ &= -log(h) \\ &= \pu{2,0} \end{align}\)