6.E4 : Quelques satellites terrestres

• Donnée sur quelques satellites

Année	Nom	Pays	Masse	Période	Altitude au périgée (par rapport à la surface)	Altitude à l'apogée (par rapport à la surface)	Inclinaison de l’orbite
1957	Spoutnik 1	Russie	84 kg	96,1 min	227 km	945 km	65°
1962	Telstar 1	Etats-Unis	77 kg	157,8 min	942 km	5646 km	44,8°
1964	Syncom 3	Etats-Unis	40 kg	23 h 56 min	35786 km	35786 km	0°
1965	Astérix	France	42 kg	107,5 min	527 km	1797 km	64,3°
1972	Anik A1	Canada	560 kg	23 h 56 min	35786 km	35786 km	0°

• Donnée pour la Terre : Rayon de la Terre \(R_T = \pu{6371 km}\).

• Données pour la Lune

- Masse : \(M_{Lune} = \pu{7,3477E22 kg}\),
- Demi-grand axe de l’orbite : \(a_{Lune} = \pu{3,844E5 km}\).
- Période de révolution : \(T_{Lune} = \pu{27 j 7 h 43 min}\).

1 Orbites des satellites

1.a Dans quel référentiel doit-on travailler pour étudier le mouvement des satellites autour de la Terre ?

1.b Énoncer la 1^ère loi de Kepler en l'adaptant au mouvement des satellites terrestres.

2 Exploitation de données sur quelques satellites

2.a Quelle est la particularité de Syncom 3 et de Anik A1 ?

2.b Vérifier la validité de la 3^ème loi de Kepler pour les satellites Spoutnik, Telstar et Astérix par une méthode graphique. On détaillera la démarche suivie.

2.c La Lune vérifie-t-elle également la 3^ème loi de Kepler ?

Afficher la correction

1.a

Les satellites autour de la Terre s'étudient dans le référentiel géocentrique.

1.b

Les trajectoires des centres des satellites sont des ellipses dont la Terre est l'un des foyer.

2.a

La période de Syncom 3 et de Anik A1 sont égales à 23 h 56 min, c'est-à-dire au jour sidéral.

Par ailleurs, l'inclinaison de leurs orbites est de 0 °. Cela signifie que les orbites sont dans le plan équatorial terrestre.

On peu donc affirmer que les satellites sont géostationnaires.

2.b

Démarche :

- On calcul T² le carré de la période pour chaque satellite.
- On calcul a, le demi-grand-axe pour chaque satellite, puis a³.
- On trace T² en fonction de a³.
=> Si on peut modéliser le graphique obtenu par une droite qui passe par l'origine, cela signifie que T² est proportionnel à a³, c'est-à-dire que la 3^ème loi de Kepler est vérifiée.

Calcul du demi-grand-axe a :

2·a = (apogée + RT) + (Rt + périgée)

Mise en œuvre :

• Calculs

Nom	Période (en min)	Altitude au périgée (en km)	Altitude à l'apogée (en km)	Demi grand-axe a (en km)	a³ (en km³)	T² (en min²)
Spoutnik 1	96,1	227	945	13914	2,69×10¹²	9235
Telstar 1	157,8	942	5646	19330	7,22×10¹²	24900
Astérix	107,5	527	1797	15066	3,42×10¹²	11556

• Courbe

• Conclusion

On observe que les données peuvent modélisées par une droite qui passe par l'origine. Donc T² est proportionnel à a³. Donc la 3^ème loi de Kepler est vérifiée.

2.c

Montrons que le rapport T²/a³ est le même pour la Lune que pour les trois satellites.

• Pour les trois satellites :

Pour les trois satellites, le rapport T²/a³ est le coefficient directeur du graphique.

Soit, en prenant un point de la droite, on trouve que T²/a³ = 27500/(1×10¹²) = 2,75×10⁻⁸ min²·km⁻³.

• Pour la Lune :

T²/a³ = (27×24×60 + 7×60 + 43)² / (3,844×10⁵)³ = 2,73×10⁻⁸ min²·km⁻³.

• Conclusion

Compte tenu de la précision du graphique, on peut considérer que les deux résultats obtenu sont identiques. Donc on peut affirmer que la Lune vérifie la 3^ème loi de Kepler comme les satellites artificiels.