1
Système : Triton
Référentiel : Neptunocentrique
Bilan des forces subies par Triton : \(\vec{F}\), la force gravitationnelle exercée par Neptune
Deuxième loi de Newton, on a : \(M_{Tri}·\vec{a} = \vec{F}\)
Dans le repère de Frenet \((Tri, \vec{u}_t, \vec{u}_n)\)
\(\vec{a}\left|\begin{align}
&a_t = \dfrac{dv}{dt} \\
&a_n = \dfrac{v^2}{r_{Tri}}
\end{align}\right.\)
Et comme la trajectoire de Triton est circulaire : \(\vec{F}\left|\begin{align}
&F_t = 0 \\
&F_n = F
\end{align}\right.\)
Avec \(F = G·\dfrac{M_{Tri}·M_{Nep}}{{r_{Tri}}^2}\)
Finalement, on a : \(\left\{\begin{align}
&M_{Tri}·\dfrac{dv}{dt} = 0 \\
&M_{Tri}·\dfrac{v^2}{r_T} = G·\dfrac{M_{Tri}·M_{Nep}}{{r_{Tri}}^2}
\end{align}\right.\)
La deuxième relation permet d'écrire : \(M_{Tri}·\dfrac{v^2}{r_{Tri}} = G·\dfrac{M_{Tri}·M_{S}}{{r_{Tri}}^2}\).
Soit : \(\dfrac{v^2}{r_{Tri}} = G·\dfrac{M_{S}}{{r_{Tri}}^2}\)
Soit : \(v^2 = G·\dfrac{M_{S}}{r_{Tri}}\)
Finalement : \(\begin{aligned}[t]
v &= \sqrt{\dfrac{G·M_{S}}{r_{Tri}}} \\
&= \sqrt{\dfrac{(\pu{6,674E-11 m3*kg-1*s-2})·(\pu{1,025E26 kg})}{(\pu{3,547E8 m})}} \\
&= \pu{4,39E3 m*s-1}
\end{aligned}\)
2
Troisième loi de Kepler (loi des périodes)
Le carré de la période de révolution \(T\) d’un satellite en orbite autour de Neptune est proportionnel au cube du demi-grand axe \(a\) de sa trajectoire elliptique : \(\dfrac{T^2}{a^3}=cte\).
Calcul de la période de révolution de Triton \(T_{Tri}\)
On raisonne pour 1 tour.
\(\begin{align}
T_{Tri} &= \dfrac{2\pi·r_{Tri}}{v} \\
&= \dfrac{2×(\pu{3,14159})×(\pu{3,547E8 m})}{\pu{4,39E3 m*s-1}} \\
&= \pu{5,07E5 s} \\
&= \pu{5,88 j}
\end{align}\)
Calcul de la période de révolution de Néréide \(T_{Nér}\)
D'après la loi de Kepler, on a donc : \(\dfrac{T_{Nér}^2}{a_{Nér}^3} = \dfrac{T_{Tr}^2}{r_{Tri}^3}\)
Donc : \(T_{Nér}^2 = T_{Tri}^2·\dfrac{a_{Nér}^3}{r_{Tri}^3}\)
Soit : \(T_{Nér}^2 = T_{Tri}^2·\left(\dfrac{a_{Nér}}{r_{Tri}}\right)^3\)
Finalement : \(\begin{aligned}[t]
T_{Nér} &= T_{Tri}·\left(\dfrac{a_{Nér}}{r_{Tri}}\right)^{\frac{3}{2}} \\
&= (\pu{5,88 j})×\left(\dfrac{\pu{5513E6 m}}{\pu{3,547E8 m}}\right)^{\frac{3}{2}} \\
&= \pu{360 j}
\end{aligned}\)
