6.E2 : Mission sur Mars

Un des grands défis du XXIe siècle sera d’envoyer une mission d’exploration humaine sur la planète Mars. Le but de cet exercice est d’étudier quelques-unes de nombreux problèmes à résoudre avant de pouvoir effectuer une telle mission.

On imagine une base relais (pour le matériel comme pour les communications avec le Terre) sur Phobos, un des satellites de Mars, dont nous allons étudier le mouvement.

On supposera que Phobos, de masse \(m_P\), a une trajectoire circulaire autour de Mars.

Données :

Masse de Mars \(M_M = \pu{6,42E23 kg}\) ;
Rayon de l’orbite circulaire de Phobos \(r = \pu{9,38E3 km}\).

1 Dans quel référentiel doit-on se placer afin d’étudier le mouvement de Phobos ?

2 Rappeler l’expression vectorielle de l’accélération dans le repère de Serret-Frenet.

3 Rappeler l’expression vectorielle de la force gravitationnelle subie par Phobos.

4 En appliquant la deuxième loi de newton :

4.a Montrer que le mouvement de Phobos est uniforme.

4.b Établir l’expression de la vitesse \(v\) de Phobos en fonction de \(r\), \(G\) et \(M_M\).

4.c Calculer sa valeur en \(\pu{m*s–1}\) puis en \(\pu{km·h–1}\).

5 On souhaite déterminer la valeur de la période de révolution de Phobos.

5.a Déterminer l’expression de la période \(T\) de révolution de Phobos en fonction de \(v\) et de \(r\).

5.b En déduire l’expression de \(T\) en fonction de \(G\), \(M_M\) et \(r\).

5.c Calculer sa valeur en \(\pu{s}\) puis en \(\pu{heure}\).

Afficher la correction

L’étude de Phobos se fait dans le référentiel marsocentrique.

Dans le repère de Frenet on a :

\(\begin{align} \vec{a} &= a_T~\vec{u_T} + a_N~\vec{u_N} \\ & = \dfrac{dv}{dt} \vec{u_T} + \dfrac{v^2}{r}~\vec{u_N} \end{align}\)

Avec les notations de l’énoncé :

\(\begin{align} \vec{F} &= -G\dfrac{m_P·M_M}{/r^2}~\overrightarrow{u_{Mars→Phobos}} \\ &= G\dfrac{m_P·M_M}{r^2} \vec{u_N} \end{align}\)

4.a

D’après la deuxième loi de Newton : \(\vec{F} = m_P·\vec{a}\).

Soit \(\vec{a} = \dfrac{\vec{F}}{m_P}\).

En exprimant cette relation vectorielle suivant la direction de \(\vec{u_T}\) on obtient : \(\dfrac{dv}{dt} = 0\).

La vitesse est bien constante.

4.b

En expriment la relation vectorielle \(\vec{a} = \dfrac{\vec{F}}{m_P}\) suivant la direction de \(\vec{u_N}\) on obtient : \(\dfrac{v^2}{r} = G \dfrac{M_M}{r^2}\).

Soit \(v=\sqrt{\dfrac{G·M_M}{r}}\).

4.c

On trouve \(\begin{aligned}[t] v &= \pu{2,14E3 m*s–1} \\ &= \pu{7,69E3 km*h-1} \end{aligned}\).

5.a

En raisonnant sur 1 tour, comme \(v\) est constant, on peut écrire \(v = \dfrac{2π·r}{T}\).

D’où \(T = \dfrac{2π·r}{v}\)

5.b

On trouve donc \(\begin{aligned}[t] T &= \dfrac{2π r}{\sqrt{\dfrac{G·M_M}{r}}} \\ &= 2π~\sqrt{\dfrac{r^3}{G·M_M}} \end{aligned}\)

5.c

Le calcul de la valeur donne \(\begin{aligned}[t] T &= \pu{2,76E4 s} \\ &= \pu{460 min} \\ &= \pu{7 h 40 min} \end{aligned}\).