6.E1 : Troisième loi de Kepler

Caractéristiques de quelques planètes :

On souhaite vérifier la troisième loi de Kepler, à l’aide de l’étude de trois planètes du système solaire en orbite circulaire autour du Soleil : Vénus, la Terre et Mars.

1 Dans quel référentiel doit-on se placer afin d’étudier le mouvement de ces trois planètes ?

2 Tracer la représentation graphique de l’évolution de \(r^3\) en fonction de \(T^2\) pour ces trois planètes.

3 La troisième loi de Kepler est-elle vérifiée ?

4 En admettant que \(\dfrac{r^3}{T^2} = \dfrac{𝐺·𝑀}{4𝜋^2}\), où \(G = \pu{6,67E–11 m3·kg–1·s–2}\), déterminer la valeur de la masse \(M_S\) du Soleil avec le plus de précision possible.

Afficher la correction

1

Pour étudier le mouvement de ces trois planètes, il faut se placer dans le référentiel héliocentrique.

2

Après avoir effectué les conversions de \(T\) en \(\pu{s}\) et de \(r\) en \(\pu{m}\) on obtient :

3

Les points du graphique peuvent être modélisés par une droite qui passe par l’origine, donc \(r^3\) est bien proportionnel à \(T^2\).

4

A partir du graphique, on détermine le coefficient directeur \(k = \pu{3,37E18 m3·s–2}\).

D’où \(\dfrac{G·M}{4π^2} = k\). Soit \(M = \dfrac{4π^2 k}{G}\). Soit \(M = \pu{1,99E30 kg}\).