6.Eac5 : Jupiter et ses satellites

Avec Io, Callisto fait partie des satellites naturels de Jupiter que Galilée a observé en 1610. Io gravite autour de Jupiter à une distance \(r_{Io} = \pu{4,0E5 km}\) avec une période de révolution \(T = \pu{1,5 j}\).

1 Énoncer la troisième loi de Kepler.

2 Déterminer la période de révolution de Callisto sachant qu’elle est 4,5 fois plus éloignée de Jupiter que Io.

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Troisième loi de Kepler (loi des périodes) : Le carré de la période de révolution \(T\) d’une planète est proportionnel au cube du demi-grand axe \(a\) de sa trajectoire elliptique : \(\dfrac{T^2}{a^3}=cte\).

La loi de Kepler peut s'appliquer aux satellites autour de Jupiter.

Donc : \(\dfrac{T_{Callisto}^2}{r_{Callisto}^3} = \dfrac{T_{Io}^2}{r_{Io}^3}\)

Donc : \(T_{Callisto}^2 = T_{Io}^2·\dfrac{r_{Callisto}^3}{r_{Io}^3}\)

Donc : \(T_{Callisto}^2 = T_{Io}^2·\left(\dfrac{r_{Callisto}}{r_{Io}}\right)^3\)

Soit : \(T_{Callisto} = T_{Io}·\left(\dfrac{r_{Callisto}}{r_{Io}}\right)^{\frac{3}{2}}\)

Or, d'après l'énoncé : \(\dfrac{r_{Callisto}}{r_{Io}} = \pu{4,5}\)

Finalement : \(\begin{aligned}[t] T_{Callisto} &= T_{Io}·\left(\dfrac{r_{Callisto}}{r_{Io}}\right)^{\frac{3}{2}} \\ &= \pu{1,5 j}×(\pu{4,5})^{\frac{3}{2}} \\ &= \pu{14,3 j} \end{aligned}\)