6.Eac4 : Saturne et son satellite Titan

Lors de sa mission d’exploration, la sonde européenne Cassini-Huygens a livré les premiers clichés de Saturne, assimilée à un point \(S\), de ses anneaux et de ses nombreux satellites, dont Titan, assimilé à un point \(T\), le plus grand, de masse \(M\). On considérera que \(T\) décrit une trajectoire circulaire autour de \(S\).

1 Représenter qualitativement sur un schéma : Saturne, la trajectoire de Titan, une position de Titan et la force de gravitation exercée par Saturne sur Titan.

2 Donner l’expression vectorielle de cette force.

3 Exprimer l’accélération vectorielle de Titan en précisant la loi utilisée. Préciser ses caractéristiques.

4 Montrer que le mouvement de Titan est uniforme.

5 Montrer que l’expression de la vitesse orbitale de Titan autour de Saturne est : \(v_T=\sqrt{\frac{G×M_S}{r_T}}\). Calculer sa valeur.

Données :

• Constante de gravitation universelle : \(G = \pu{6,674E-11 m3*kg-1*s-2}\)
• Rayon de l’orbite de Titan : \(r_T = \pu{1,22E6 km}\)
• Rayon de Saturne : \(R_S = \pu{5,8E4 km}\)
• Masse de Saturne : \(M_S = \pu{5,69E26 kg}\)

Afficher la correction

1

2

\(\vec{F} = -G·\dfrac{M_{T}·M_{S}}{{r_T}^2}·\vec{u}_{ST}\)

3

Système : Titan

Référentiel : Saturnocentrique

Bilan des forces subies par Titan : \(\vec{F}\)

Deuxième loi de Newton, on a : \(M_T·\vec{a} = \vec{F}\)

 

Comme le mouvement est circulaire, \(\vec{F}\) est porté par le rayon de la trajectoire. Par ailleurs, \(\vec{F}\) est dirigé vers le centre de la trajectoire.

Donc le vecteur accélération \(\vec{a}_T\) est également porté par le rayon de la trajectoire et dirigé vers le centre.

4

Dans le repère de Frenet \((T,\vec{u}_t,\vec{u}_n)\)

\(\vec{a}\left|\begin{align} &a_t = \dfrac{dv}{dt} \\ &a_n = \dfrac{v^2}{r_T} \end{align}\right.\)

Et comme la trajectoire est circulaire : \(\vec{F}\left|\begin{align} &F_t = 0 \\ &F_n = F \end{align}\right.\)

Avec \(F = G·\dfrac{M_{T}·M_{S}}{{r_T}^2}\)

Finalement, on a : \(\left\{\begin{align} &M_T·\dfrac{dv}{dt} = 0 \\ &M_T·\dfrac{v^2}{r_T} = G·\dfrac{M_{T}·M_{S}}{{r_T}^2} \end{align}\right.\)

 

D'après la première relation, \(\dfrac{dv}{dt} = 0\). Donc \(v = cte\). Le mouvement de Titan est donc bien uniforme.

5

D'après la deuxième relation : \(M_T·\dfrac{v^2}{r_T} = G·\dfrac{M_{T}·M_{S}}{{r_T}^2}\).

Soit : \(\dfrac{v^2}{r_T} = G·\dfrac{M_{S}}{{r_T}^2}\)

Soit : \(v^2 = G·\dfrac{M_{S}}{r_T}\)

Finalement : \(\begin{aligned}[t] v &= \sqrt{\dfrac{G·M_{S}}{r_T}} \\ &= \sqrt{\dfrac{(\pu{6,674E-11 m3*kg-1*s-2})·(\pu{5,69E26 kg})}{(\pu{1,22E9 m})}} \\ &= \pu{5,57E3 m*s-1} \end{aligned}\)