5.Etb2 : Mouvement dans un champ électrique

Une particule \(\alpha\) (noyau d'hélium de charge \(q_{He} = 2·e\) et de masse \(m_{He}\)) est émise avec une vitesse \(v_0\) à l'intérieur d'un condensateur à armatures planes dans lequel règne un champ électrique \(\vec{E}\) uniforme (voir schéma).

Dans cette étude, on négligera le poids de la particule \(θ\) par rapport à la force électrique exercée par les armatures.

1 Indiquer les signes des charges portés par les armatures \(A\) et \(B\).

2 Déterminer les composantes du vecteur vitesse initial \(\vec{v_0}\) de la particule dans le repère \((O, x, y)\) du schéma.

3.a Déterminer l'expression la force électrique \(\vec{F_e}\) subie par la particule.

3.b En déduire les coordonnées de \(\vec{F_e}\).

4 Montrer que le vecteur accélération de cette particule peut s'écrire : \(\vec{a} \left| \begin{align} a_x &= 0 \\ a_y &= -\dfrac{2·e·E}{m} \end{align}\right.\)

5 En déduire les équations horaires de la position de la particule.

6 Montrer que l'équation de la trajectoire est alors : \(y = -\dfrac{e·E}{m·{v_0}^2·{cos(θ)}^2}·x^2+tan(θ)·x\).

7 Déterminer l'expression littérale de la vitesse initiale \(v_0\) que doit posséder la particule pour ressortir du condensateur plan en passant précisément par le point \(P\).

Afficher la correction

Le champ \(\vec{E}\) est toujours orienté de l'armature positive vers l'armature négative. Donc l'armature A est positive et l'armature B est négative.

\(\vec{v_0} \left| \begin{align} {v_0}_x &= v_0 × cos(θ) \\ {v_0}_y &= v_0 × sin(θ) \end{align}\right.\)

3.a

\(\begin{align} \vec{F_e} &= q_{He}·\vec{E} \\ &= 2·e·\vec{E} \end{align}\)

3.b

\(\vec{E} \left| \begin{align} E_x &= 0 \\ E_y &= -E \end{align}\right.\)

D'où : \(\vec{F_e} \left| \begin{align} {F_e}_x &= 2·e·E_x = 0 \\ {F_e}_y &= 2·e·E_y = -2·e·E \end{align}\right.\)

D'après la 2ème loi de Newton : \(\vec{F_e} = m·\vec{a}\), soit \(\vec{a} = \dfrac{\vec{F_e}}{m}\)

Donc :

\(\begin{align} a_x &= \dfrac{{F_e}_x}{m} \\ &= 0 \end{align}\)

\( \begin{align} a_y &= \dfrac{{F_e}_y}{m} \\ &= \dfrac{-2·e·E}{m} \end{align}\)

En intégrant les relations précédentes on obtient :

\(\begin{align} v_x &= \text{ primitive de } a_x \\ &= {v_0}_x \\ &= v_0·cos(θ) \end{align}\)

\(\begin{align} v_y &= \text{ primitive de } a_y \\ &= \dfrac{-2·e·E}{m}·t + {v_0}_y \\ &= \dfrac{-2·e·E}{m}·t + v_0·sin(θ) \end{align}\)

En intégrant encore les relations précédentes on obtient les équations horaires :

\(\begin{align} x &= \text{ primitive de } v_x \\ &= v_0·cos(θ)·t + x_0 \\ &= v_0·cos(θ)·t \end{align}\)

\(\begin{align} y &= \text{ primitive de } v_y \\ &= \frac{1}{2}·\dfrac{-2·e·E}{m}·t^2 + v_0·sin(θ)·t + y_0 \\ &= -\dfrac{e·E}{m}·t^2 + v_0·sin(θ)·t \\ \end{align}\)

L'équation de la trajectoire s'obtient à partir des équations horaires en "éliminant" \(t\)

Ici, comme \(x = v_0·cos(θ)·t\), on a \(t = \dfrac{x}{v_0·cos(θ)}\)

Et donc : \(\begin{align} y &= -\dfrac{e·E}{m}·t^2 + v_0·sin(θ)·t \\ &= -\dfrac{e·E}{m}·\left(\dfrac{x}{v_0·cos(θ)}\right)^2 + v_0·sin(θ)·\left(\dfrac{x}{v_0·cos(θ)}\right) \\ &= -\dfrac{e·E}{m·{v_0}^2·{cos(θ)}^2}·x^2+tan(θ)·x \end{align}\)

« La particule ressort du condensateur plan en passant précisément par le point \(P\) » se traduit mathématiquement par \(y(x = D) = 0\).

Soit \(0 = -\dfrac{e·E}{m·{v_0}^2·{cos(θ)}^2}·D^2 + tan(θ)·D\)

Soit \(\dfrac{e·E}{m·{v_0}^2·{cos(θ)}^2}·D^2 = \dfrac{sin(θ)}{cos(θ)}·D\)

Soit \(\dfrac{e·E}{m·{v_0}^2·{cos(θ)}}·D = sin(θ)\)

Soit \({v_0}^2 = \dfrac{e·E·D}{m·cos(θ)·sin(θ)}\)