5.E6 : Plume et marteau

Lors de la mission Apollo 15, en 1971, les astronautes séjournent sur la Lune durant près de 64 heures et y réalisent différentes expériences. Peu avant la fin de la mission, David Scott prend dans chaque main une plume et un marteau afin de vérifier la loi de la chute des corps de Galilée. Il les lâche en même temps : la plume et le marteau touchent le sol lunaire simultanément quelques instants plus tard.

L’axe \((Oz)\) est dirigé vers le bas et son origine \(O\) est confondue avec le centre de masse du marteau à l’instant du lâcher. On notera \(g_L\) l’intensité de la pesanteur sur la Lune.

1 Préciser le référentiel d’étude.

2 Appliquer la deuxième loi de Newton à chaque objet et montrer qu’ils ont le même vecteur accélération.

3 En déduire l’expression de la composante verticale \(v_z(t)\), puis celle de \(z(t)\).

4 Exprimer \(g_L\), l’intensité de pesanteur sur la Lune, en fonction du temps de chute \(t_c\) et de la hauteur de chute \(h\).

5 L’analyse de la vidéo de la mission permet d’estimer que la plume et le marteau sont tombés d’une hauteur de \(\pu{1,2 m}\) avec un temps de chute de \(\pu{1,2 s}\). En déduire la valeur de \(g_L\).

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Le référentiel d’étude est le référentiel lunaire que l’on considérera comme galiléen.

Chaque objet n’est soumis qu’à son poids \(\vec{P}\) avec \(\vec{P} = m·\vec{g_L}\).

Donc, d’après la 2ème loi de Newton, \(m·\vec{g_L} = m·\vec{a}\). Soit \(\vec{g_L} = \vec{a}\).

Donc le vecteur accélération est le même pour les deux objets.

Remarque : le vecteur accélération ne dépend pas de la masse.

On a montré que \(\vec{a} = \vec{g_L}\). Donc \(a_z = {g_L}_z\). Soit \(a_z = g_L\) (car l’axe \(Oz\) est orienté vers le bas).

On sait que \(v_z(t)\) est la primitive de \(a_z\). Donc \(v_z(t) = g_L·t + {v_z}_0\). \(Or {v_z}_0 = 0\). D’où \(v_z(t) = g_L·t\).

On sait que \(z(t)\) est la primitive de \(v_z(t)\). Donc \(z(t) = \frac{1}{2}~g_L·t^2 + z_0\). Or \(z_0 = 0\). D’où \(z(t) = \frac{1}{2}~g_L·t^2\).

D’après l’expression de \(z(t)\), on a \(h = \frac{1}{2}~g_L·tc^2\). Soit \(g_L = \dfrac{2·h}{t_C^2}\).

\(g_L = \dfrac{2 × (\pu{1,2 m})}{(\pu{1,2 s})^2} = \pu{1,7 m*s–2}\).