5.E5 : Pénalité au rugby

Au rugby, les points marqués grâce aux pénalités ou aux transformations prennent une importance parfois capitale dans certains matchs très serrés au niveau du score.

Étudions les caractéristiques d’un coup de pied. Le ballon est posé au sol à \(\pu{40 m}\) des poteaux. Lors de la frappe, il acquiert une vitesse \(v_0\) et il s’élève en faisant un angle \(\alpha = \pu{55°}\) par rapport à l’horizontale. Pour que les points soient marqués, le ballon doit passer au‐dessus de la barre transversale, qui est à une hauteur de \(\pu{3,4 m}\) par rapport à la pelouse.

Le ballon de masse \(m\) est assimilé à son centre de masse. On néglige les effets donnés au ballon et toute action de l’air. Le repère d’espace \((O,x,y)\) a pour origine le point de départ du ballon. L’axe \((Oy)\) est vertical et dirigé vers le haut.

1 Faire un schéma de la situation.

2 Faire le bilan des forces subies par le ballon.

3 Justifier que le ballon aura une trajectoire plane.

4 Exprimer, dans le repère de travail, les coordonnées du vecteur \(\vec{v_0}\) en fonction de \(v_0\) et \(\alpha\).

5 Appliquer la deuxième loi de Newton pour déterminer les coordonnées du vecteur accélération.

6 En déduire les coordonnées du vecteur vitesse puis du vecteur position à un instant \(t\).

7 Quelle est l’équation de la trajectoire ?

8 Quelle est la valeur minimale de la vitesse initiale à donner au ballon afin que le coup de pied soit réussi ?

Afficher la correction

La seule force qui s'exerce sur le ballon est son poids \(\vec{P}\).

On peut affirmer que le mouvement est plan car aucune force ne s'applique dans la direction perpendiculaire à \(\vec{P}\) et \(\vec{v_0}\).

\(\vec{v_0} \left| \begin{align} &{v_0}_x = v_0~cos(\alpha) \\ &{v_0}_y = v_0~sin(\alpha) \end{align}\right.\)

D'après la deuxième loi de Newton on peut écrire :

\(\vec{P} = m~\vec{a}\)

Soit \(m~\vec{g} = m~\vec{a}\)

Soit \(\vec{a} = \vec{g}\)

D'où :

\(\vec{a} \left|\begin{align} &a_x = 0 \\ &a_y = -g \end{align}\right.\)

\(\vec{v} \left|\begin{align} &v_x = \text{primitive de } a_x = {v_x}_0 = v_0~cos(\alpha) \\ &v_y = \text{primitive de } a_y = -g~t + {v_y}_0 = -g~t + v_0~sin(\alpha) \end{align}\right.\)

\(\overrightarrow{OM} \left|\begin{align} &x = \text{primitive de } v_x = v_0~cos(\alpha)~t + x_0 \\ &y = \text{primitive de } v_y = -\frac{1}{2}~g~t^2 + v_0~sin(\alpha)~t + y_0 \end{align}\right.\)

Or à l'instant initial, le ballon est à l'origine du repère. Donc \(x_0 = 0\) et \(y_0 = 0\).

Finalement :

\(\left\{\begin{align} &x = v_0~cos(\alpha)~t \\ &y = -\frac{1}{2}~g~t^2 + v_0~sin(\alpha)~t \end{align}\right.\)

L'équation de la trajectoire est de la forme \(y = f(x)\). Elle s'obtient en "éliminant" \(t\) des équations précédentes.

A partir de la première équation on obtient : \(t = \dfrac{x}{v_0~cos(\alpha)}\)

Puis, avec la deuxième équation on obtient :

\(y = -\frac{1}{2}~g~\left(\dfrac{x}{v_0~cos(\alpha)}\right)^2 + v_0~sin(\alpha)~\left(\dfrac{x}{v_0~cos(\alpha)}\right)\)

soit \(y = -\dfrac{g}{2~{v_0}^2~{cos(\alpha)}^2}~x^2 + ~\dfrac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}~x\)

Pour que le tir soit réussi, il faut que, pour \(x = \pu{40 m}\), \(y\) soit supérieur à \(\pu{3,4 m}\).

Soit : \(-\dfrac{g}{2~{v_0}^2~{cos(\alpha)}^2}×{40}^2 + \dfrac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}×40 > \pu{3,4}\)

Soit : \(\dfrac{g×{40}^2}{2~{v_0}^2~{cos(\alpha)}^2} < \dfrac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}×40 - \pu{3,4}\)

Soit : \({v_0}^2 > \dfrac{\dfrac{g×{40}^2}{2~{cos(\alpha)}^2}}{\dfrac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}×40 - \pu{3,4}}\)

Soit : \(v_0 > \sqrt{\dfrac{\dfrac{g×{40}^2}{2~{cos(\alpha)}^2}}{\dfrac{sin(\alpha)}{cos(\alpha)}×40 - \pu{3,4}}}\)

Soit : \(v_0 > \sqrt{\dfrac{\dfrac{\pu{9,8}×{40}^2}{2~{cos(\pu{55°})}^2}}{\dfrac{sin(\pu{55°})}{cos(\pu{55°})}×40 - \pu{3,4}}}\)

Soit : \(v_0 > \pu{21,1 m*s-1}\)