5.Eac9 : Balle lancée vers le haut - Démonstration par l'énergie

Une balle ponctuelle de masse \(m\) est lancée verticalement vers le haut avec une vitesse \(v_0\).

Question En utilisant la conservation de l'énergie mécanique, déterminer l'expression de la hauteur maximale \(h\) atteinte par la balle.

On travaillera dans un repère \((O, z)\) pour lequel l'origine \(O\) est le point où la balle quitte la main et l'axe \(Oz\) est vertical orienté vers le haut.

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Préambule

Système : la balle considéré comme ponctuel.

Référentiel d'étude : référentiel terrestre considéré comme galiléen

Bilan des forces : \(\vec{P} = m~\vec{g}\)

Application de la conservation de l'énergie mécanique

Comme le système n'est soumis qu'à son poids, alors \(Em = cte\)

Choix de deux positions particulières

On choisi de travailler entre A et B :

- Point A : position de la balle au moment où elle quitte la main.
- Point B : position de la balle au moment où elle est à sa position la plus haute..

Exploitation de la relation de conservation de l'énergie mécanique

\(Em = cte\)

Donc \(Em_A = Em_B\)

Soit \(Ec_A + Epp_A = Ec_B + Epp_B\)

Soit \(\frac{1}{2}~m~{v_A}^2 + m~g~z_A = \frac{1}{2}~m~{v_B}^2 + m~g~z_B\)

Or \(v_A = v_0\) ; \(z_A = 0\) ; \(v_B = 0\) et \(z_B = h\).

Donc \(\frac{1}{2}~m~{v_0}^2 + 0 = 0 + m~g~h\)

Soit \({v_0}^2 = 2~g~h\)

Soit \(h = \dfrac{{v_0}^2}{2~g}\)