Préambule
Système : le pot
Référentiel d'étude : référentiel terrestre considéré comme galiléen
Bilan des forces : \(\vec{P} = m~\vec{g}\)
Application de la deuxième loi de Newton pour avoir \(\vec{a}\)
Énoncé de la loi : \(\Sigma{\overrightarrow{forces}} = m~\vec{a}\)
Donc ici : \(\vec{P} = m~\vec{a}\)
Soit encore : \(m~\vec{g} = m~\vec{a}\)
Et donc : \(\vec{a} = \vec{g}\)
Choix du repère de travail
On choisi de travailler dans le repère dont l'origine est au niveau du sol et l'axe vertical orienté vers le haut.
Coordonnées du vecteur accélération
Comme : \(\vec{a} = \vec{g}\)
Alors : \(\begin{aligned}[t]
a_z &= g_z \\
&= -g
\end{aligned}\)
Coordonnées du vecteur vitesse
Les coordonnées du vecteur vitesse sont les primitives des coordonnées du vecteur accélération.
\(\begin{align}
v_z &= \text{primitive de } a_z \\
&= -gt + v_{z_0}
\end{align}\)
Coordonnées du vecteur position
Les coordonnées du vecteur position sont les primitives des coordonnées du vecteur vitesse.
\(\begin{align}
z &= \text{primitive de } v_z \\
&= -\frac{1}{2}gt + v_{z_0}t + z_0
\end{align}\)
Condition utilisations
On choisit de déclencher le chronomètre au moment où le pot commence à tomber.
Les conditions initiales sont donc :
- - pour la position : \(z_0 = h\)
- - pour la vitesse : \(v_{z_0} = 0\)
Les équations deviennent donc :
- \(a_z = -g\)
- \(v_z = -gt\)
- \(z = -\frac{1}{2}gt^2 + h\)
Détermination de la vitesse au niveau du sol.
La détermination de la vitesse au niveau du sol se fait en trois étapes :
- 1) détermination du temps \(t_{sol}\) au bout du quel le pot atteint le sol ;
- 2) détermination de la coordonnée de la vitesse \(v_{z_{sol}}\) à l'instant \(t_{sol}\)
- 3) détermination la vitesse \(v_{sol}\)
1)
\(z(t_{sol}) = 0\)
Donc : \(-\frac{1}{2}g{t_{sol}}^2 + h = 0\)
Soit : \({t_{sol}}^2 =\dfrac{2h}{g}\)
Et donc : \(t_{sol} = \sqrt{\dfrac{2h}{g}}\)
2)
\(\begin{align}
v_{z_{sol}} &= -gt_{sol} \\
&= -g\sqrt{\dfrac{2h}{g}} \\
&= -\sqrt{2gh}
\end{align}\)
3)
\(\begin{align}
v_{sol} &= |{v_{z_{sol}}}| \\
&= \sqrt{2gh}
\end{align}\)
