4.E6 : Mouvement des aiguilles d’une horloge

Une coccinelle se tient immobile sur l’aiguille des secondes d’une horloge. Cette aiguille mesure \(L = \pu{20,0 cm}\).

1 Préciser le référentiel dans lequel la coccinelle est immobile.

2 Donner la nature du mouvement de la coccinelle dans le référentiel de l’horloge.

3. Vitesse et accélération

3.a Déterminer la valeur de la vitesse de la coccinelle dans le référentiel de l’horloge.

3.b En déduire les coordonnées du vecteur vitesse et du vecteur accélération de la coccinelle dans le repère de Frenet.

3.c Représenter ces deux vecteurs à un instant donné, sans tenir compte des échelles.

4 On considère maintenant que la coccinelle se déplace sur l’aiguille, vers le centre de l’horloge, à vitesse constante par rapport à l’aiguille. Représenter l’allure de la trajectoire de la coccinelle dans le référentiel de l’horloge.

Afficher la correction

La coccinelle est immobile dans le référentiel de l'aiguille des secondes.

Dans le référentiel de l'horloge, la coccinelle est animée d'un mouvement circulaire uniforme.

3.a

Raisonnons sur un tour d'aiguille.

La distance parcourue par la coccinelle est égale au périmètre du cercle de rayon L. Autrement dit, \(d = 2\pi L\)

Le temps écoulé est \(t = \pu{60 s}\).

\(\begin{align} v &= \dfrac{d}{t} \\ &= \dfrac{2\pi L}{t} \\ &= \dfrac{2 × \pi × \pu{0,200 m}}{\pu{60 s}} \\ &= \pu{\pu{2,09E-2 m*s-1}} \end{align}\)

3.b

Dans le repère de Frenet, on :

\(\vec{v}(t) \left\{ \begin{align} &v_t(t) = v \\ &v_n(t) = 0 \end{align} \right.\)

\(\vec{a}(t) \left\{ \begin{align} &a_t(t) = \dfrac{dv}{dt} = 0 \\ &a_n(t) = \dfrac{v^2}{L} = \pu{2,19E-3 m*s^-2} \end{align} \right.\)

3.c

La trajectoire sera une spirale.

Figure...