4.E5 : Equation horaire d’une voiture

On considère une route horizontale. On choisit de travailler dans un repère \(Ox\) orienté vers la droite.

On s’intéresse à un point P d’une voiture qui passe sur la route. Entre les instants \(t = \pu{0 s}\) et \(t = \pu{10 s}\), la position du point P peut être modélisée par l’équation suivante : \(x(t) = \pu{-0,7}·t^2 + 14·t\) (où les grandeurs sont exprimées dans les unités du système international : le mètre et la seconde).

1 Cette voiture va-t-elle vers la droite ou vers la gauche ? Justifier.

2 Vitesse

2.a Déterminer l’équation de la coordonnée \(v_x(t)\) du vecteur vitesse \(\vec{v}\) du point P.

2.b Cette équation confirme-t-elle la réponse à la question 1) ? Justifier.

2.c Calculer la valeur de la coordonnée \(v_x(t)\) puis la valeur de la vitesse aux instants \(t = \pu{5 s}\) et \(t = \pu{10 s}\).

3 Accélération

3.a Déterminer l’équation de la coordonnée \(a_x(t)\) du vecteur accélération \(\vec{a}\) du point P.

3.b En déduire la valeur de l’accélération sur le parcours étudié.

4 Quelle est la nature du mouvement du point P ?

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Calculons quelques valeurs de \(x(t)\) :

\(x(t = 0) = 0\)
\(x(t = \pu{1 s}) = \pu{13,3 m}\)
\(x(t = \pu{2 s}) = \pu{25,2 m}\)

On observe dont que \(x(t)\) augmente. Donc le point P va dans le sens positif de l'axe, c'est à dire vers la droite.

2.a

\(\begin{align} v_x(t) &= \dfrac{dx(t)}{dt} \ &= -2·\pu{0,7}·t + 14 \ &= -\pu{1,4}·t + 14 \end{align}\)

2.b

Pour \(t\) compris entre \(\pu{0 s}\) et \(\pu{10 s}\) on peut calculer que \(v_x(t)\) est positif.

Cela signifie bien que le point P se déplacer dans le sens positif de l'axe.

2.c

\(v_x(t = \pu{5 s}) = \pu{7,0 m*s^-1}\). Soit \(v(t = \pu{5 s}) = \pu{7,0 m*s^-1}\)

\(v_x(t = \pu{10 s}) = \pu{0 m*s^-1}\). Soit \(v(t = \pu{10 s}) = \pu{0 m*s^-1}\)

3.a

\(\begin{align} a_x(t) &= \dfrac{v_x(t)}{dt} \ &= -\pu{1,4 m*s^-2} \end{align}\)

3.b

Sur le parcours étudié, l'accélération est constante, \(a = \pu{1,4 m*s^-2}\)

Le point P sur déplace en ligne droite, donc le mouvement est rectiligne.

Par ailleurs, \(a = cte\) et \(\vec{a}\) est opposé à \(\vec{v}\), donc le mouvement est rectiligne, uniformément décéléré.